Para entender la operación llamada factorización es repasar los siguientes conceptos:
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.
Factor Común
Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más.
El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior.
Cómo realizar la factorización:
1. De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD
2. De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor exponente.
3. Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada término.
El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior.
Cómo realizar la factorización:
1. De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD
2. De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor exponente.
3. Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada término.
Factor Común por Agrupación
Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea par)
Cómo realizar la factorización:
1. Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados.
2. La agrupación se hace colocando paréntesis.
3. Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en
4. Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis)
Cómo realizar la factorización:
1. Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados.
2. La agrupación se hace colocando paréntesis.
3. Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en
4. Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis)
Diferencia de Cuadrados
Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta y los exponentes de las letras son cantidades pares.
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta y los exponentes de las letras son cantidades pares.
Trinomio Cuadrado Perfecto
El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos).
Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia de Cuadrados Perfectos (Caso 3).
Cómo realizar la factorización:
1. Para ello extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término.
2. Realizamos el doble producto de las raíces obtenidas y comparamos con el segundo término .Así nos da un TCP
3. La factorización de un TCP es un binomio al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del segundo término.
Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia de Cuadrados Perfectos (Caso 3).
Cómo realizar la factorización:
1. Para ello extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término.
2. Realizamos el doble producto de las raíces obtenidas y comparamos con el segundo término .Así nos da un TCP
3. La factorización de un TCP es un binomio al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del segundo término.
Trinomio de la forma x2n+bxn+c
Se abren dos grupos de paréntesis.
Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.
Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer término.
Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b).
Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos.
Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.
Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer término.
Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b).
Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos.
Trinomio de la forma ax2n+bxn+c
El trinomio debe estar organizado en forma descendente.
El coeficiente principal (es decir, del primer término) debe ser positivo y diferente de uno (a≠1).
El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.
Cómo realizar la factorización:
Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal, es decir, a.
En el numerador efectuamos la propiedad distributiva teniendo presente que en el segundo término el producto no se realiza sino que se deja expresado: la cantidad que entra y la variable quedan agrupadas dentro de un paréntesis y el coeficiente original queda por fuera.
Se expresa el primer término como el cuadrado de lo que quedó en paréntesis en el segundo término.
Aplicamos (Trinomio de la forma x2n+bxn+c) en el numerador.
Aplicamos (Factor común) en los paréntesis formados.
Finalmente, simplificamos la fracción (para eliminar el denominador).
El coeficiente principal (es decir, del primer término) debe ser positivo y diferente de uno (a≠1).
El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.
Cómo realizar la factorización:
Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal, es decir, a.
En el numerador efectuamos la propiedad distributiva teniendo presente que en el segundo término el producto no se realiza sino que se deja expresado: la cantidad que entra y la variable quedan agrupadas dentro de un paréntesis y el coeficiente original queda por fuera.
Se expresa el primer término como el cuadrado de lo que quedó en paréntesis en el segundo término.
Aplicamos (Trinomio de la forma x2n+bxn+c) en el numerador.
Aplicamos (Factor común) en los paréntesis formados.
Finalmente, simplificamos la fracción (para eliminar el denominador).
Suma y Diferencia de Cubos Perfectos
Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo).
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, y los exponentes de las letras son múltiplos de tres
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, y los exponentes de las letras son múltiplos de tres